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Wahrscheinlichkeit und Outs


Poker Tipps - Wahrscheinlichkeit und Outs - Hintergrund

   
Fast jeder Texas Hold'em-Spieler kennt die einfache 4/2 Eselsbrücke zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit, seine Hand am Turn oder River zu treffen. Wie kommt diese simple Regel aber eigentlich zustande?

Du ziehst am Turn einen Flush-Draw und möchtest wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, deinen Flush am River zu treffen. Nichts einfacher als das. Du multiplizierst deine Outs - also die Karten, die dir weiterhelfen - mit zwei und schon hast du annähernd die Wahrscheinlichkeit deinen Flush zu treffen. In diesem Fall wären dies neun Outs mal zwei, also ungefähr 18%. Falls dies ein Flop-Szenario ist und du möchtest die Wahrscheinlichkeit wissen, deine Hand am River zu treffen, dann multiplizierst du deine Outs einfach mit 4. Diese Eselsbrücke kennen die meisten Pokerspieler, oder sollten sie zumindest kennen.

Mathematischer Hintergrund der Eselsbrücke
Um die Hintergründe der Eselsbrücke näher zu beleuchten, müssen wir zunächst einmal definieren, was man unter Wahrscheinlichkeit versteht. Die Wahrscheinlichkeit P(A), dass das Ereignis A eintritt, berechnet man wie folgt:

P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse / Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse

Mit dieser einfachen Definition können wir folgende Eselsbrücken näher hinterfragen:

o Die Wahrscheinlichkeit am Flop mit der nächsten Karte, also am Turn, die gewünschte Hand zu treffen, beträgt: P(A) = Outs * 2
o Die Wahrscheinlichkeit am Turn mit der nächsten Karte, also am River, die gewünschte Hand zu treffen, beträgt: P(A) = Outs * 2
o Die Wahrscheinlichkeit am Flop, bis zum River die gewünschte Hand zu treffen, beträgt: P(A) = Outs * 4

Flop: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich am Turn meine Hand treffe?
Insgesamt befinden sich 52 Karten im Deck. Zwei Karten halten wir in der Hand, 3 Karten liegen am Flop. Unsere Gegner halten ebenfalls jeweils zwei Karten in der Hand. Da wir diese im Normalfall aber nicht kennen, werden diese von den verbleibenden Karten nicht abgezogen. Damit gibt es noch 47 verbleibende Karten.

P(A)...Wahrscheinlichkeit, eines unserer Outs zu treffen n...Anzahl unserer Outs

Behauptung: P(A) = Outs * 2

Beweis:
P(A) = n / 47
100 P(A) = 100 * n / 47
100 P(A) = 2.13 * n
100 P(A) = ~2 * n

Wir sehen, dass wir bei der einfachen Multiplikation mit zwei annähernd das richtige Ergebnis bekommen. Beim Szenario 'Turn auf River' sieht dies fast genauso aus. Allerdings verbleiben nicht 47 Karten im Deck, sondern nur 46. Am Ergebnis ändert sich aber nur geringfügig etwas und die Eselsbrücke können wir auch hier verwenden.

Flop: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich am River meine Hand treffe?
Hier ist die Berechnung etwas komplizierter, da sich das Gesamtereignis aus zwei Einzelereignissen (Turn und River) zusammensetzt. Folgende Grundannahmen sind zu beachten:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Elementarereignisse.

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsversuch ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten.

In diesem Szenario setzt sich unser gewünschtes Gesamtereignis aus mehreren Einzelereignissen zusammen, die wir addieren müssen:

o Wir ziehen am Turn eine unserer Wunschkarten. River blankt.
o Turn blankt. Wir ziehen am River eine unserer Wunschkarten.
o Wir ziehen am Turn und am River eine unserer Wunschkarten.

Das Szenario 'Wir ziehen am Turn und am River eine unserer Wunschkarten' kann unsere Hand in ihrer Wertigkeit stark herabsetzen, wie dies beispielsweise bei Flushdraws manchmal vorkommt. Wir gehen hier aber davon aus, dass uns auch dieses Szenario weiterhilft.

Szenario 1: Wir ziehen am Turn eine unserer Wunschkarten. River blankt.
P1(A) = n / 47 * [ 46 - ( n - 1 ) ] / 46

Szenario 2: Turn blankt. Wir ziehen am River eine unserer Wunschkarten.
P2(A) = [ ( 47 - n ) / 47 ] * ( n / 46 )

Szenario 3: Wir ziehen am Turn und am River eine unserer Wunschkarten.
P3(A) = ( n / 47) * [ ( n - 1 ) / 46 ]

Unsere Gesamtwahrscheinlichkeit setzt sich aus den Einzelszenarien zusammen und beträgt:
P(A) = P1(A) + P2(A) + P3(A)

Da die Regel 'Wahrscheinlichkeit = Outs * 4' hier bei einer Vereinfachung der Gleichung nicht so einfach abzulesen ist, überprüfen wir die Eselsbrücke am besten anhand einer Tabelle:

Out (n)P(A) rechnerischP(A) = 4 * n
14.214
28.338
312.3512
416.2816
520.1220
623.8724
727.5228
831.0832
934.5536
1037.9340
1141.2144
1244.4048


Der Tabelle können wir entnehmen, dass wir die ungefähre Wahrscheinlichkeit tatsächlich mit Hilfe der Eselsbrücke 'Outs * 4' bestimmen können. Je mehr Outs allerdings der Berechnung zu Grunde liegen, desto ungenauer wird diese.

Zusammenfassung:
Die bekannte 4/2 Eselsbrücke ist äußerst nützlich zur schnellen Bestimmung der Wahrscheinlichkeit. Mit Hilfe von einfacher Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir die Richtigkeit der Regel bewiesen und du kannst sie getrost weiterhin anwenden.


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Letzte Aktualisierung :    20.01.2016
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